Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，點(diǎn)E在BC上，且AB∥DE．
（1）試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由；
（2）連接BD，若EC=BE，
①求∠DBC的度數(shù)；
②連接AE交BD于點(diǎn)F，若DC=4cm，求四邊形ABED的面積．（結(jié)果精確到0.01cm²）

Answer 1

解：（1）四邊形ABED是菱形，
理由是：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴平行四邊形ABED是菱形．


（2）①∵菱形ABED，
∴BE=DE=AB=DC，
∵BE=EC，
∴∠DBE=∠EDB，DE=EC=DC，
∴△DEC是等邊三角形，
∴∠DEC=60°，
∴∠DBE=∠EDB=∠DEC=30°，
即∠DBC=30°．

②∵四邊形ABED是平行四邊形，
∴BF=DF，
∵BE=EC，
∴EF=DC=2，
∴AE=2EF=4，
∵∠等邊三角形DEC，
∴∠C=∠CDE=60°，
∵∠DBC=∠EDB=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BC=8
由勾股定理得：BD=4，
∴菱形ABED的面積是×AE×BD=×4×4=8≈13.86．
分析：（1）推出平行四邊形ABDE，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（2）①求出等邊三角形DEC，求出∠DEC=60°，DE=BE，推出∠DBE=∠EDB，根據(jù)∠DBE+∠EDB=60°求出即可；②根據(jù)DF=BF，BE=EC，得到EF=2，求出AE=4，求出∠BDC=90°，求出BC，根據(jù)勾股定理求出BD，代入AE×BD求出即可．
點(diǎn)評：本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，三角形的中位線，含30度角的直角三角形等知識點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．