Question

如圖：點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α．將線(xiàn)段OC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段CD，連接OD、AD．
（1）求證：AD=BO；
（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)（直接寫(xiě)出答案），△AOD是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵OC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，
∴△BOC≌△ADC，
∴AD=BO；

（2）△AOD是直角三角形．
理由：∵△BOC≌△ADC，
∴DC=OC．∠BOC=∠ADC=150°
∵∠DCO=60°，
∴△OCD是等邊三角形．
∴∠ODC=60°
∴∠ADC=90°，
∴△AOD是直角三角形．

（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α
∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
當(dāng)∠DAO=∠DOA時(shí)，
2（190°-a）+a-60°=180°，
解得：a=140°
當(dāng)∠AOD=ADO時(shí)，
190°-a=a-60°，
解得：a=125°，
當(dāng)∠OAD=∠ODA時(shí)，
190°-a+2（a-60°）=180°，
解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．
分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出△BOC≌△ADC就可以得出AD=BO；
（2）由旋轉(zhuǎn)可以得出 OC=DC，∠DCO=60°，就可以得出△ODC是等邊三角形，就可以得出∠ODC=60°，從而得出∠ADO=90°，而得出△AOD的形狀；
（3）由條件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，當(dāng)∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA時(shí)分別求出a的值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定急性子的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．