Question

在直角坐標(biāo)系中，如圖所示，把∠BAC放在直角坐標(biāo)系中，使射線AC與x軸重合，已知∠BAC=30°，OA=OB=1，過點(diǎn)B作BA₁⊥OB交x軸于A₁，過點(diǎn)A₁做B₁A₁⊥BA₁交直線AB于點(diǎn)B₁，過B₁做B₁ A₂⊥B₁A₁交x軸于點(diǎn)A₂，再過A₂依次作垂直…．
（1）求A、B點(diǎn)坐標(biāo)（直接寫出答案）
（2）求直線AB的解析式
（3）求△A₆B₆A₇的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA的長即可求出A的坐標(biāo)，根據(jù)OB和∠BOA₁=60°，即可求出B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入得出方程組，求出方程組的解即可；
（3）推出∠BAC=∠ABO=30°，求出∠BOC=60°，∠BA₁O=30°，求出BA₁=

3

，求出A₁B₁=

3

×

3

、B₁A₂=3

3

=

3

×

3

×

3

，同理求出A₆B₆=12個(gè)

3

相乘，B₆A₇=13個(gè)

3

相乘，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：（1）解：A（-1，0），B（

1

2

，

3

2

）．

（2）解：設(shè)直線AB的解析式是：y=kx+b，
把A（-1，0），B（

1

2

，

3

2

）代入得：

0=-k+b 3 2 = 1 2 k+b

，
解得：

k= 3 3 b= 3 3

，
∴直線AB的解析式為：y=

3

3

x+

3

3

．

（3）解：∵OB=OA=1，
∴∠BAC=∠ABO=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠BA₁O=30°，
∴BA₁=

3

，
同理∠BB₁A₁=30°，
∴B₁A₁=3=

3

×

3

，
同理：B₁A₂=3

3

=

3

×

3

×

3

，
…
A₆B₆=

3

×

3

×…×

3

（12個(gè)

3

相乘），
B₆A₇=

3

×

3

×…×

3

（13個(gè)

3

相乘），
∴△A₆B₆A₇的面積是：

1

2

A₆B₆×B₆A₇=

1

2

×（

3

×

3

×…×

3

）×（

3

×

3

×…×

3

）=

312 3

2

，
答：△A₆B₆A₇的面積是

312 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)求出的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，題目比較好，但是有一定的難度．