Question

如圖：矩形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，A、D在拋物線y=-

2

3

x²+

8

3

x上，矩形的頂點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，且矩形在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），試求矩形周長(zhǎng)p關(guān)于變量x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）是否存在這樣的矩形，它的周長(zhǎng)為9，試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式令y=0，可求出拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），即OB=x，由拋物線的對(duì)稱性可知EC=x，則BC=4-2x，再根據(jù)矩形的面積公式可求出矩形周長(zhǎng)p關(guān)于變量x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）先假設(shè)符合條件的矩形存在，把9代入（1）所求的矩形周長(zhǎng)公式，根據(jù)一元二次方程判別式的情況判斷出方程解的情況即可判斷P是否存在．

解答：解：（1）令-

2

3

x²+

8

3

x=0
得：x₁=0，x₂=4．
則拋物線與坐標(biāo)軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為O（0，0）、E（4，0）
設(shè)OB=x，由拋物線的對(duì)稱性可知EC=x，則BC=4-2x．
P=2（4-2x+y）=2（4-2x-

2

3

x²+

8

3

x）
P=-

4

3

x²+

4

3

x+8

（2）不存在．
若存在周長(zhǎng)為9的矩形ABCD，則-

4

3

x²+

4

3

x+8=9
①4x²-4x+3=0，△=16-48＜0
方程①無(wú)實(shí)數(shù)根，即不存在這樣的矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及一元二次方程的解與△的關(guān)系，比較簡(jiǎn)單．