Question

已知拋物線y=x2+kx-

3

4

k2（k為常數(shù)，且k＞0）．
（1）證明：此拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)分別是M、N．
①M(fèi)、N兩點(diǎn)之間的距離為MN=

 

．（用含k的式子表示）
②若M、N兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為OM、ON，且

1

ON

-

1

OM

=

2

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由判別式△＞0即可證明；
（2）①由y=x2+kx-

3

4

k2=0，解得：x₁=-

3k

2

，x₂=

k

2

，即可得出答案；
②由

1

ON

-

1

OM

=

2

3

＞0，可得ON＜OM，所以O(shè)N=

K

2

，OM=

3k

2

，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵△=k²-4×1×（-

3

4

k²）=4k²，
∵k＞0，
∴△＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn)；

（2）①y=x2+kx-

3

4

k2=0，
解得：x₁=-

3k

2

，x₂=

k

2

，
∴MN=

k

2

-（-

3k

2

）=2k；

②∵

1

ON

-

1

OM

=

2

3

＞0，
∴ON＜OM，
∴ON=

K

2

，OM=

3k

2

，
∴

1

k 2

-

1

3 2 k

=

2

3

，
解得k=2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，難度一般，關(guān)鍵是掌握用判別式△＞0證明拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn)．