Question

（1）如圖（1），在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF．
②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明；
（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

（1）①證明：如圖（1）延長ED到G，使DG=ED，連接CG，FG，
∵CD=DB，DG=DE，∠CDG=∠BDE，
∴△DCG≌△DBE，
∴DG=DE，CG=BE，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分線段EG，
∴FG=FE，
在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；
②結論：BE²+CF²=EF²．
理由：∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACD=90°，
由①∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，
∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG²+CF²=FG²，
即BE²+CF²=EF²；

（2）如圖（2），結論：EF=EB+FC．
理由：延長AB到M，使BM=CF，
∵∠ABD+∠C=180°，又∠ABD+∠MBD=180°，
∴∠MBD=∠C，而BD=CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，
∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠EDF=120°-60°=60°=∠EDF，
∴△DEM≌△DEF，
∴EF=EM=EB+BM=EB+CF．
分析：（1）①如圖（1）延長ED到G，使DG=ED，連接CG，FG，根據條件證明△DCG≌△DBE，得DG=DE，CG=BE，易證FD垂直平分線段EG，則FG=FE，把問題轉化到△CFG中，運用三邊關系比較大��；
②結論：BE²+CF²=EF²．若∠A=90°，則∠B+∠C=90°，可證∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，在Rt△CFG中，由勾股定理探索線段BE、CF、EF之間的數量關系；
（2）如圖（2），結論：EF=EB+FC．延長AB到M，使BM=CF，根據條件證明△BDM≌△CDF，則DM=DF，再證明△DEM≌△DEF，從而得EF=EM=EB+BM=EB+CF．
點評：本題考查了旋轉法探索和證明幾何問題的方法．（1）中利用了D為線段BC的中點，通過作輔助線得出D為線段EG的中點，將涉及的三條線段轉化到△CFG中解決問題，（2）中利用旋轉法把問題轉化到△DEG中，證明△DEG≌△DEF，使問題得到解決．