Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點D，以AD為一邊向右作等邊三角形ADE，DE與AC交于點F.

(1)試判斷DF與EF的數量關系，并給出證明；

(2)若CF的長為2 cm，試求等邊三角形ABC的邊長．

Answer 1

【答案】(1)DF＝EF (2) 8cm

【解析】

(1)根據等邊三角形的每一個角都是60°可得∠BAC=∠DAE=60°,再根據等腰三角形三線合一的性質求出BD=DC,∠BAD=∠DAC=30°,然后得到∠DAC=∠CAE,然后根據等腰三角形三線合一的性質即可得證;(2)求出∠CDF=30°,然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可.

:(1)DF=EF.
理由: ∵△ABC和△ADE均是等邊三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,
∵AD⊥BC,
∴BD=DC,∠BAD=∠DAC=×60°=30°,
∴∠CAE=60°-30°=30°,
即∠DAC=∠CAE,
∴AC垂直平分DE,
∴DF=EF;
(2)在RT△DFC中, ∵∠FCD=60°, ∠CFD=90°,
∴∠CDF=90°-60°=30°,
∵CF=2cm,
∴DC=4cm,
∴BC=2DC=2×4=8cm,
即等邊三角形ABC的邊長為8cm.

(1)DF＝EF.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，又∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°.∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠DAF＝∠EAF＝30°，由三線合一知DF＝EF　(2)BC＝2CD＝2×2CF＝8 cm