Question

在△ABC中，AB=，AC=，BC=1．
（1）求證：∠A≠30°；
（2）將△ABC繞BC所在直線旋轉一周，求所得幾何體的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，利用三角函數計算出sinA，然后與sin30°進行比較即可判斷∠A≠30°；
（2）將△ABC繞BC所在直線旋轉一周，所得的幾何體為圓錐，圓錐的底面圓的半徑為AC，母線長為AB，所得幾何體的表面積分為底面積和側面積，分別根據圓的面積公式和扇形的面積公式進行計算即可．
解答：證明：（1）∵BC²+AC²=1+2=3=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
∵，
∴∠A≠30°．

（2）將△ABC繞BC所在直線旋轉一周，所得的幾何體為圓錐，
∴圓錐的底面圓的半徑=，
∴圓錐的底面圓的周長=2π•=2π；母線長為，
∴幾何體的表面積π+π×（）²=π+2π．
點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，它的弧長為圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑為母線長，圓錐的側面積=扇形的面積=l•R（l為弧長，R為扇形的半徑）；也考查了勾股定理的逆定理以及特殊角的三角函數值．