Question

已知一個矩形紙片ABCD，AB=12，BC=6，點E為DC邊上的動點（點E不與點D、C重合），經(jīng)過點A、E折疊該紙片，得點D′和折痕AE，經(jīng)過點E再次折疊紙片，使點C落在直線ED′上，得點C′和折痕EF．當(dāng)點C′恰好落在邊AB上時，DE的長為________．

Answer 1

2或6
分析：設(shè)DE=x，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠AED=∠AEC′，∠CEF=∠C′EF，然后求出∠AED+∠CEF=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠DAE=∠CEF，然后求出△ADE和△ECF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出CF，然后表示出BF、C′D′，再根據(jù)△AC′D′和△C′FB相似列式求出BC′，然后表示出AC′，在Rt△AC′D′中，利用勾股定理列式求解即可；再根據(jù)矩形的邊長，當(dāng)點E為CD的中點時，C′、D′、F三點重合，為AB的中點．
解答：設(shè)DE=x，則CE=CD-DE=AB-DE=12-x，
由翻折的性質(zhì)得，∠AED=∠AEC′，∠CEF=∠C′EF，
∴∠AED+∠CEF=×180°=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ADE∽△ECF，
∴=，
即=，
解得CF=，
∴BF=BC-CF=6-=，C′D′=C′E=D′E=12-x-x=12-2x，
由翻折的性質(zhì)，∠AD′C′=∠EC′F=90°，
∴AD′∥C′F，
∴∠C′AD′=∠BC′F，
又∵∠AD′C=∠B=90°，
∴=，
即=，
解得BC′=，
∴AC′=12-=，
在Rt△AC′D′中，AD′²+C′D′²=AC′²，
即6²+（12-2x）²=（）²，
整理得，5x²-76x+132=0，
解得x₁=2，x₂=（舍去），
故，DE=2，
當(dāng)點E為CD的中點時，C′、D′、F三點重合，為AB的中點，
此時DE=×12=6，
綜上所述，DE的長為2或6．
故答案為：2或6．
點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記翻折前后的兩個圖形能夠重合得到相等的線段和角是解題的關(guān)鍵，本題要注意點E為CD的中點的情況．