Question

（本題14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3，0），直線l與x軸正半軸夾角為30°，點B為直線l上的一個動點，延長AB至點C，使得AB=BC，過點C作CD⊥x軸于點D，交直線l于點F，過點A作AE∥l交直線CD于點E．

（1）若點B的橫坐標(biāo)為6，則點C的坐標(biāo)為（______，_____），DE的長為 ；

（2）若點B的橫坐標(biāo)大于3，則線段CF的長度是否發(fā)生改變？若不變，請求出線段CF的長度；若改變，請說明理由；

（3）連結(jié)BE，在點B的運動過程中，以O(shè)B為直徑的⊙P與△ABE某一邊所在的直線相切，請求出所有滿足條件的DE的長．

Answer 1

（1）C（9，） , DE=；（2）見解析；（3）DE的長為或或

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意求出點C的坐標(biāo)及DE的長度；（2）過點A作AM⊥x軸于M，根據(jù)tan∠BOA的值求出AM的長度，然后證明△ABM和△CBF全等，從而得出CG=AM；（3）本題需要分三種情況進行分類計算，首先分別畫出圖形，然后分別進行計算.

試題解析：（1）C（9，） , DE=;

（2）如圖（1），過點A作AM⊥x軸于M ，∴∠OAM=90°, ∠BOA=30°, ∴AM=OAtan∠BOA=．

∵B為AC的中點， ∴AB=BC 又∵AM∥CF, ∴∠AMB=∠CFB ，∠MAB=∠FCB,

∴△ABM≌△CBF ∴CF=AM=． ∴線段CF的長度保持不變．

（3）如圖1，過點B作BG⊥x軸于點G．易證， OB=2BG ,CD=2BG,

∴OB=CD．

（Ⅰ）當(dāng)點D在點A的右側(cè)時，⊙P只能與BE相切，如圖2．

設(shè)DE=, 則OB=CD=． ∵⊙P與BE相切于點B，

∴OB⊥BE． 易得BF=EF=．

∴OF=OB+BF=． ∴OF=2DF, ∴=．

解得． ∴ DE=．

（Ⅱ）當(dāng)點D在線段OA上時，①若⊙P與直線AE相切，如圖3，

易得，直線l與AE的距離是．

∴ OB=3． ∴ CD=3． ∴DE=2CF-CD=．

②當(dāng)⊙P與AB相切，如圖4．

∴∠OBA=90°．

∴OB=OAtan∠OBA=.

∴CD=.

∴ DE=2CF-CD==．

（Ⅲ）當(dāng)點D在點O的左側(cè)時，⊙P只能與直線AE相切，如圖5

∵ 直線l與AE的距離是，

∴ OB=3．∴ CD=3． ∴ DE=2CF+CD=．

綜上所述，DE的長為或或 ．

考點：三角形全等的判定、直線與圓的位置關(guān)系.