Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AP，PE交DC于點(diǎn)E，AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：①△PCE∽△ABP；②CE•AB=PC•BP；
（2）當(dāng)FC=3時(shí)，求EC、BP的長(zhǎng)及△PCE和△ABP的面積比．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和垂直的性質(zhì)即可證明△PCE∽△ABP；②利用①中相似三角形的性質(zhì)即可證明CE•AB=PC•BP；
（2）設(shè)BP=x，由CE•AB=PC•BP可得1.5×4=x（5-x），解方程即可求出BP的長(zhǎng)，再分兩種情況分別討論即可．

解答：解：（1）①在矩形ABCD中，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠APN=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∵∠ECP=∠B=90°，
∴△PCE∽△ABP；
②∵△PCE∽△ABP；
∴CE：BP=PC：AB，
∴CE•AB=PC•BP；

（2）∵EC∥AB，
∴△ECF∽△ABF，
∴FC：FB=EC：AB，
∴3：8=CE：4，
∴CE=1.5，
設(shè)BP=x，由CE•AB=PC•BP可得1.5×4=x（5-x），
解得：x=2或3，即BP=2或BP=3，
（Ⅰ）當(dāng)BP=2時(shí)，PC=BC-BP=5-2=3，
∵△PCE∽△ABP，
∴△PCE和△ABP的面積比=9：16；
（Ⅱ）當(dāng)BP=3時(shí)，PC=BC-BP=2，
∴△PCE和△ABP的面積比=1：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．本題中把若干線段的長(zhǎng)度用同一線段來(lái)表示是求線段是否成比例時(shí)常用的方法．