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如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=-
5
6
x2+
13
6
x+c與y軸交于點D，與x軸負半軸交于點B（-1，0），直線y=
1
2
x+b與拋物線交于A、B兩點．作△ABD的外接圓⊙M交x軸正半軸于點C，連結CD交AB于點E．
（1）求b、c的值；
（2）求：①點A的坐標；②∠AEC的正切值；
（3）將△BOD繞平面內一點旋轉90°，使得該三角形的對應頂點中的兩個點落在已知拋物線上（如圖2），請直接寫出旋轉中心的坐標．
（1）∵一次函數y=
1
2
x+b的圖象經過點B（-1，0），
∴0=
1
2
×（-1）+b，
解得b=
1
2
；
∵拋物線y=-
5
6
x2+
13
6
x+c經過點B（-1，0），
∴0=-
5
6
×（-1）2+
13
6
×（-1）+c，
解得c=3；

（2）①
1
2
x+
1
2
=-
5
6
x2+
13
6
x+3，
化簡得x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3．
當x=3時，y=2，
∴A（3，2）；
②如圖1，過點A作AH⊥y軸于H．
∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
∴在△ABD中，AB2=（-1-3）2+（0-2）2=20，AD2=（0-3）2+（3-2）2=10，DB2=（-1-0）2+（0-3）2=10，
∴AB2=AD2+DB2，AD=DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
∵△ABD的外接圓⊙M交x軸正半軸于點C，
∴AB為⊙M的直徑，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
又∵∠BDC=∠BAC，
∴△DBC∽△AEC，
∴∠DBC=∠AEC，
∴tan∠AEC=tan∠DBC=
OD
OB
=
3
1
=3；

（3）分為3種情況，①旋轉后OD在拋物線上；②旋轉后OB在拋物線上；③旋轉后BD在拋物線上．
1、旋轉后OD在拋物線上：
設為O′D′，則O′D′平行于x軸，拋物線y=-
5
6
x2+
13
6
x+3=-
5
6
（x-
13
10
）2+
529
120
，對稱軸x=
13
10
，
則x1=
13
10
-
1
2
|OD|=
13
10
-
3
2
=-
1
5
，x2=
13
10
+
3
2
=
14
5
，
則兩點為（-
1
5
，
38
15
）、（
14
5
，
38
15
）．
這時分別：①O′（-
1
5
，
38
15
）、D′（
14
5
，
38
15
）；②O′（
14
5
，
38
15
）、D′（-
1
5
，
38
15
），此時O′D′=3．
設旋轉中心P點的坐標為（x，y）．
①如果O′（-
1
5
，
38
15
）、D′（
14
5
，
38
15
），由題意，得
x+y=
38
15
y-x=
1
5
，解得
x=
7
6
y=
41
30
，
此時旋轉中心P1為（
7
6
，
41
30
）；
②如果O′（
14
5
，
38
15
）、D′（-
1
5
，
38
15
），由題意，得
y-x=
38
15
x+
1
5
=3-
38
15
-x
，解得
x=
2
15
y=
8
3
，
此時旋轉中心P2為（
2
15
，
8
3
）；
2、旋轉后OB在拋物線上：
由于OB⊥y軸，則O′B′⊥x軸，此時顯然不成立；
3、旋轉后BD在拋物線上：
BD邊旋轉90°后所得線段B′D′與BD垂直，直線斜率kBD=3，則kB′D′=-
1
3
．
設旋轉后B′D′所在直線方程為：y=-
1
3
x+m，
與拋物線：y=-
5
6
x2+
13
6
x+3聯立，解方程組，得：
x=
15+
585-120m
10
y=
-15-
585-120m
+30m
30
或
x=
15-
585-120m
10
y=
-15+
585-120m
+30m
30
，此為兩個交點的坐標．
∵B′D′=BD=
10
，
∴（
15-
585-120m
10
-
15+
585-120m
10
）2+（
-15+
585-120m
+30m
30
-
-15-
585-120m
+30m
30
）2=10，
整理，得585-120m=225，
解得m=3，
∴兩點坐標：（3，2），（0，3）．
①如果B′（3，2），D′（0，3），則D′與D重合，所以此時旋轉中心為P3（0，3）；
②如果D′（3，2），B′（0，3），則此時旋轉中心為P4（1，1）．
綜上可知，旋轉中心為（0，3）、（1，1）、（
7
6
，
41
30
）、（
2
15
，
8
3
）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知：拋物線y=ax2+bx+4的對稱軸為x=-1，且與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，其中點A的坐標為（-3，0），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線的頂點為D，求△ACD的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系內有兩點A（-2，0），B（
1
2
，0），CB所在直線為y=2x+b，
（1）求b與C的坐標；
（2）連接AC，求證：△AOC∽△COB；
（3）求過A，B，C三點且對稱軸平行于y軸的拋物線解析式；
（4）在拋物線上是否存在一點P（不與C重合），使得S△ABP=S△ABC？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1、2，已知拋物線y=ax2+bx+3經過點B（-1，0）、C（3，0），交y軸于點A．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖1，若M（0，1），過點A的直線與x軸交于點D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH從點D開始，沿射線DA方向勻速運動，運動的速度為1個長度單位/秒，在運動過程中腰FG與直線AD始終重合，設運動時間為t秒．當t為何值時，以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形；
（3）如圖2，拋物線頂點為K，KI⊥x軸于I點，一塊三角板直角頂點P在線段KI上滑動，且一直角邊過A點，另一直角邊與x軸交于Q（m，0），請求出實數m的變化范圍，并說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求拋物線的解析式及直線AC的解析式；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；
（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標系內，O為坐標原點，點A的坐標為（1，0），點B在x軸上且在點A的右端，OA=AB，分別過點A、B作x軸的垂線，與二次函數y=x2的圖象交于C、D兩點，分別過點C、D作y軸的垂線，交y軸于點E、F，直線CD交y軸于點H．
（1）驗證：S矩形OACE：S梯形ECDF=2：9；
（2）如果點A的坐標改為（t，0）（t＞0），其他條件不變，（1）的結論是否成立？請說明理由．
（3）如果點A的坐標改為（t，0）（t＞0），二次函數改為y=ax2（a＞0），其他條件不變，記點C、D的橫坐標分別為xC、xD，點H的橫坐標為yH，試證明：xC•xD=-
1
a
yH．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示，四個頂點的坐標分別為O（0，0），A（10，0），B（8，2
3
），C（0，2
3
），點P在線段OA上（不與O、A重合），將紙片折疊，使點A落在射線AB上（記為點A’），折痕PQ與射線AB交于點Q，設OP=x，折疊后紙片重疊部分的面積為y．（圖②供探索用）
（1）求∠OAB的度數；
（2）求y與x的函數關系式，并寫出對應的x的取值范圍；
（3）y存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時x的值；若不存在，說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關系式y=a（x-6）2+2.6．已知球網與O點的水平距離為9m，高度為2.43m．
（1）求y與x的關系式；（不要求寫出自變量x的取值范圍）
（2）球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由．

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同步練習冊答案