Question

（2011•濱江區(qū)模擬）我們把一個(gè)半圓與拋物線(xiàn)的一部分合成的封閉圖形稱(chēng)為“蛋圓”，如果一條直線(xiàn)與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線(xiàn)叫做“蛋圓”的切線(xiàn)．如圖，點(diǎn)A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．開(kāi)動(dòng)腦筋想一想，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線(xiàn)的解析式為（ ）

A．y=-2x-3
B．y=-x-3
C．y=-3x-3
D．y=x-3

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線(xiàn)過(guò)D點(diǎn)，所以本題可設(shè)它的解析式為y=kx-3．根據(jù)圖象可求出拋物線(xiàn)的解析式，因?yàn)橄嗲�，所以它們的交點(diǎn)只有一個(gè)，進(jìn)而可根據(jù)一元二次方程的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．
解答：解：因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線(xiàn)過(guò)D（0，-3）點(diǎn)，所以設(shè)它的解析式為y=kx-3，
∵AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A、B，
∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+1）（x-3），
又∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D（0，-3），
∴-3=a•1•（-3），即a=1，
∴y=x²-2x-3．
又∵拋物線(xiàn)y=x²-2x-3與直線(xiàn)y=kx-3相切，
∴x²-2x-3=kx-3，即x²-（2+k）x=0只有一個(gè)解，
∴△=（2+k）²-4×0=0，
∴k=-2即經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線(xiàn)的解析式為y=-2x-3．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題目需靈活運(yùn)用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，并利用切線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程來(lái)解決問(wèn)題．