(2013•樊城區(qū)模擬)已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)O是BC上一動(dòng)點(diǎn),以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓.
(1)如圖①若點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),⊙O與AC相交于點(diǎn)D,E為AB的中點(diǎn),試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明.
(2)在(1)的條件下,將Rt△ABC沿BC所在的直線向右平移,使點(diǎn)B與圓心O重合,如圖②,若⊙O與AC相切于點(diǎn)D,求AD:CD的值.

分析:(1)連接OD、BD,根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°,則E為Rt△ABD的斜邊AB的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DE=BE=
1
2
AB,則∠EBD=∠EDB,由于∠EBD+∠OBD=90°,所以∠EDB+∠ODB=90°,即∠ODE=90°,根據(jù)切線的判定方法得到DE與⊙O相切; 
(2)根據(jù)切線的性質(zhì)由AC切⊙O于點(diǎn)D得BD⊥AC,根據(jù)題意得到BC=2BD,利用sinC=
BD
BC
=
1
2
,可得到∠C=30°,則∠1=30°,令A(yù)D=a,在Rt△ABD中,AB=2AD=2a,同理得AC=2AB=4a,則CD=3a,所以AD:CD=1:3.
解答:解:(1)DE與⊙O相切.理由如下:
如圖①,連接OD、BD,
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BDC=90°.
在Rt△ABD中,E為AB中點(diǎn),
∴DE=BE=
1
2
AB,
∴∠EBD=∠EDB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°,
∴∠EDB+∠ODB=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE與⊙O相切; 

(2)如圖(2),連接OD,
∵AC切⊙O于點(diǎn)D,
∴BD⊥AC,
在Rt△BCD中,BC=2BD,
∵sinC=
BD
BC
=
1
2
,
∴∠C=30°,
∵∠A+∠C=∠A+∠1=90°,
∴∠1=30°.
令A(yù)D=a,在Rt△ABD中,AB=2AD=2a,
同理得AC=2AB=4a,
∴CD=AC-AD=3a,
∴AD:CD=1:3.
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定與性質(zhì):經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線為圓的切線;圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
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6
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7或25
7或25
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x-1
x
-
x-2
x+1
÷
2x2-x
x2+2x+1
,其中x滿足x-2=0.

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