Question

【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)P是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形邊上的一點(diǎn)，若△PBE是等腰三角形，則腰長(zhǎng)為________．

Answer 1

【答案】2或或

【解析】分情況討論：

(1)當(dāng)PB為腰時(shí)，若P為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，

∵P是AD的中點(diǎn)，

∴AP=DP=2，

根據(jù)勾股定理得：BP===；

若B為頂點(diǎn)，則根據(jù)PB=BE′得，E′為CD中點(diǎn)，此時(shí)腰長(zhǎng)PB=；

(2)當(dāng)PB為底邊時(shí)，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點(diǎn)，即為點(diǎn)E；

①當(dāng)E在AB上時(shí)，如圖2所示：

則BM=BP=，

∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP，

∴△BME∽△BAP，

∴，即，

∴BE=；

②當(dāng)E在CD上時(shí)，如圖3所示：

設(shè)CE=x，則DE=4x，

根據(jù)勾股定理得：BE2=BC2+CE2，PE2=DP2+DE2，

∴42+x2=22+(4x)2，

解得：x=，

∴CE=，

∴BE= ==；

綜上所述：腰長(zhǎng)為： ，或，或；

故答案為： ，或，或.