Question

已知，如圖，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為2，以BC為對(duì)稱軸將△ABC翻折，得到四邊形ABDC，將此四邊形放在直角坐標(biāo)系xOy中，使AB在x軸上，點(diǎn)D在直線y=

3

2

x-

3

上．
（1）根據(jù)上述條件畫(huà)出圖形，并求出A、B、D、C的坐標(biāo)；
（2）若直線y=

3

2

x-

3

與y軸交于點(diǎn)P，拋物線y=ax²+bx+c，過(guò)A、B、P三點(diǎn)，求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并指出這個(gè)點(diǎn)在△ABC的什么特殊位置．

Answer 1

分析：（1）已知了正三角形的邊長(zhǎng)為2，即可求得D、C的縱坐標(biāo)為

3

，將其代入直線y=

3

2

x-

3

中，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，易知四邊形ABDC是菱形，根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)為2，以及點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可確定出其他三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)直線y=

3

2

x-

3

的解析式，易求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，而A、B的坐標(biāo)在（1）題已經(jīng)求得，即可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式．
（3）可用配方法將（2）題所得函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，進(jìn)而可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)來(lái)判斷它在△ABC中的特殊位置．

解答：解：（1）依題意，四邊形ABDC為菱形，
∵AB=2，∠CAB=60°，
∴C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)均為

3

；
設(shè)D(x，

3

)，
∵點(diǎn)D在直線y=

3

2

x-

3

上，
∴

3

=

3

2

x-

3

，x=4，
∴D(4，

3

)，C(2，

3

)，A(1，0)，B(3，0)；
如圖，（4分）

（2）P(0，-

3

)，拋物線過(guò)A、B、P三點(diǎn)，
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0

解得

a=- 3 3 b= 4 3 3 c=- 3

；
∴y=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

．（6分）

（3）y=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

=-

3

3

(x-2)2+

3

3

，
∴頂點(diǎn)(2，

3

3

)；（7分）
這個(gè)點(diǎn)在△ABC的內(nèi)心位置．（8分）
（答外心、重心、垂心均可）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)界限的確定等知識(shí)．正確的求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)鍵，難度適中．