Question

如圖，直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線(xiàn)OB于E，D，連接EC，CD．
（1）求證：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)；
（2）試猜想BC，BD，BE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（3）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得OC⊥AB；即可得到證明；
（2）易得∠BCD=∠E，又有∠CBD=∠EBC，可得△BCD∽△BEC；故可得BC²=BD•BE；
（3）易得△BCD∽△BEC，BD=x，由三角形的性質(zhì)，易得BC²=BD•BE，代入數(shù)據(jù)即可求出答案．

解答：（1）證明：如圖，連接OC，（1分）
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，（2分）
∴AB是⊙O的切線(xiàn)．（3分）

（2）解：BC²=BD•BE．（4分）
證明：∵ED是直徑，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC（OC=OD），
∴∠BCD=∠E．（5分）
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．（6分）
∴

BC

BE

=

BD

BC

．
∴BC²=BD•BE．（7分）

（3）解：∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

．
∵△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．（8分）
設(shè)BD=x，則BC=2x，
∵BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6）．（9分）
∴x₁=0，x₂=2．
∵BD=x＞0，
∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查常見(jiàn)的幾何題型，包括切線(xiàn)的判定，線(xiàn)段等量關(guān)系的證明及線(xiàn)段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．