Question

如圖，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，DP是⊙O₁的切線，切點為P，直線PD交⊙O₂于C、Q，交AB的延長線于D．
（1）求證：DP²=DC•DQ；
（2）若QA也是⊙O₁的切線，求證：方程x²-2PBx+BC•AB=0有兩個相等的實數(shù)根；
（3）若點C為PQ的中點，且DP=y，DC=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S_△ADC：S_△ACQ的值．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)切割線定理進行求解，由于DP是圓O₁的切線，那么DP²=DB•DA=DC•DQ；
（2）要證方程有兩個相等的實數(shù)根，那么PB²=BC•AB，也就是證三角形BPC和APB相似，可連接AP，通過證兩三角形相似來得出本題的結(jié)論；
（3）在（1）中已經(jīng)得出了DP²=DC•DQ，DP=y，CD=x，DQ=PQ-PD=2（PD+DC）-PD=2x+y，由此可得出y、x的函數(shù)關(guān)系式．
因為三角形ACD和ACQ等高，因此只需得出DC，DQ的比例關(guān)系即可得出面積比．上面已經(jīng)得出了x，y的函數(shù)關(guān)系式，而DC=x，DQ=2x+y，只需將x、y的函數(shù)關(guān)系式代入DC：DQ中，即可得出兩三角形的面積比．

解答：（1）證明：∵DP是⊙O₁的切線，
∴DP²=DB•DA，
又∵DB•DA=DC•DQ，
∴DP²=DC•DQ．

（2）證明：連接PA．
在△BPC與△APB中，
∵四邊形ABCD是⊙O₂的內(nèi)接四邊形，
∴∠PCB=∠QAB，
∵QA是⊙O₁的切線，
∴∠QAB=∠APB，
∴∠PCB=∠APB，
又∵DP是⊙O₁的切線，
∴∠BPC=∠BAP，
∴△BPC∽△APB，
∴

PB

BC

=

AB

PB

，
∴PB²=BC•AB，
而方程x²+2PBx+4BC•AB=0的根的判別式為：
△=（2PB）²-4BC•AB=4（PB²-BC•AB），
∴△=0，
∴原方程有兩個相等的實數(shù)根．

（3）解：由（1）得DP²=DC•DQ，
∵DP=y，DC=x，C為PQ的中點，
∴DQ=2x+y，
∴y²=x（2x+y），
整理得y²-xy-2x²=0，
∴（x+y）（y-2x）=0，
又∵x＞0，y＞0，
∴x+y≠0，
∴y-2x=0，
故所求函數(shù)關(guān)系式是：y=2x，
∴S_△ADC：S_△ACD=DC：QC=x：（x+y）=x：3x=1：3．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和二次方程的綜合應(yīng)用等知識點，本題有難度．