Question

已知，如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，點的坐標為，對稱軸是．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點是線段上的動點，過點作∥，分別交軸、于點P、，連接．當的面積最大時，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）由題意，得解得

所求拋物線的解析式為：．

（2）設點的坐標為，過點作軸于點．

由，得，．

∴點的坐標為．

∴，．

∥，∴．∴，

即．　　∴．

 

．

又，

∴當時，有最大值3，此時．

（3）∵  、、 、

∴ 是等腰直角三角形

∴

∵∥

∴

∴ 是等腰直角三角形

∴ 點P的坐標為

∴

∴

∴

∵

∴   

【解析】（1）由拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于點A，B，點A的坐標為（-4，0），對稱軸是x=-1，利用待定系數(shù)法求解即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）由（1）即可求得點B的坐標，則可求得AB與BM的長，又由MN∥AC，即可證得△BMN∽△BAC，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得NE的長，S_△CMN=S_△CBM-S_△NBM，求得S_△CMN=- (m+1)²+3，則可求得△CMN的面積最大時，點M的坐標；

（3）由A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），則可證得△AOC是等腰直角三角形，求得AC的長，又由MN∥AC，證得△MOP是等腰直角三角形，即可求得△CPM的面積，然后由S_△CPN=S_△CMN-S_△CPM求得△CPN的面積，又由S_△ABC=AB•OC=12，求其比值即可求得答案．