Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，M是X軸正半軸上一點(diǎn)，⊙M與X軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，A在B的左側(cè)，且OA、OB的長(zhǎng)是方程x²-12x+27=0的兩根，ON⊥MN于點(diǎn)N，且點(diǎn)N在⊙M上，點(diǎn)N在第四象限．
（1）求⊙M的直徑；
（2）求直線ON對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使△OTN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由因式分解求出方程的解，確定A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出⊙M的直徑，
（2）由OM，MN的長(zhǎng)可以求出∠MON的度數(shù)，寫出直線ON的解析式，
（3）由ON作為底邊和腰，可以直接寫出T點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）（x-3）（x-9）=0
∴x₁=3，x₂=9，
∴A（3，0），B（9，0），
∴AB=9-3=6．
∴⊙M的直徑是6．

（2）∵ON⊥MN，點(diǎn)N在⊙M上，且在第四象限，
OM=6，MN=3，
∴∠MON=30°
∴直線ON的解析式為：y=-

3

3

x．

（3）當(dāng)ON是等腰三角形的腰時(shí)，ON=

62-32

=3

3

，以O(shè)為圓心，ON長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于T點(diǎn)，則T（-3

3

，0）和T（3

3

，0），以N為圓心，NO長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于T點(diǎn)，則T（9，0）；
當(dāng)ON是等腰三角形的底邊時(shí)，T（3，0）．
故T點(diǎn)坐標(biāo)有：（-3

3

，0），（3

3

，0），（9，0），（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，由方程的根確定A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出直徑的長(zhǎng)．有直線和圓的位置關(guān)系及圓的半徑的關(guān)系，可以求出直線的解析式．?dāng)?shù)形結(jié)合可以直接寫出T點(diǎn)坐標(biāo)．