Question

（2001•陜西）已知△ABC內接⊙O．
（1）當點O與AB有怎樣的位置關系時，∠ACB是直角；
（2）在滿足（1）的條件下，過點C作直線交AB于D，當CD與AB有什么樣的關系時，△ABC∽△CBD∽△ACD
（3）畫出符合（1）（2）題意的兩種圖形，使圖形中的CD=2cm．

Answer 1

【答案】分析：（1）要保證∠ACB是直角，根據直徑所對的圓周角是直角，則AB應是直徑，即點O在AB上；
（2）若要這三個三角形相似，則需要∠ABC=∠ACD，則可以得到CD應垂直于AB；
（3）根據射影定理，則CD=2，得AD•BD=4，所以可以讓AD=3，BD=1．
解答：解：（1）若要使∠ACB=90°，
則根據90°的圓周角所對的弦是直徑，
可得AB應是直徑，
即點O應在AB上；

（2）若要△ABC∽△CBD∽△ACD，
則∠ABC=∠ACD．
又∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B+∠BCD=90°．
則CD⊥AB．

（3）根據上述結論，可以讓AD=3，BD=1或AD=1，BD=3（如圖1和2）．
點評：考查了圓周角定理的推論，掌握相似三角形的性質．能夠根據要滿足的結論分析應滿足的條件．