Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，點A（a，0），B（m，n），C（p，n），其中m＞p＞0，n＞0，點A，C在直線y=-2x+10上，AC=$2\sqrt{5}$，OB平分∠AOC，求證：四邊形OABC是菱形．

Answer 1

分析 先根據(jù)點A（a，0）在直線y=-2x+10上，求得點A的坐標(biāo)，在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理列出方程（5-p）²+n²=（2$\sqrt{5}$）²，再根據(jù)點C（p，n）在直線y=-2x+10上，
得到方程n=-2p+10，進(jìn)而求得n和p的值，根據(jù)點C的坐標(biāo)，求得OC的長，最后根據(jù)菱形的定義判定四邊形OABC是菱形．

解答 解：∵B（m，n），C（p，n），
∴BC∥x軸，
∵點A（a，0）在直線y=-2x+10上，
∴0=-2a+10，即a=5，
∴A（5，0），即OA=5，
過C作CE⊥OA于點E，則∠AEC=90°，AE=5-p，
∵在Rt△ACE中，AE²+CE²=AC²，
∴（5-p）²+n²=（2$\sqrt{5}$）²，
又∵點C（p，n）在直線y=-2x+10上，
∴n=-2p+10
∴（5-p）²+（-2p+10）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得p₁=3，p₂=7，
∴當(dāng)p=3時，n=4；當(dāng)p=7時，n=-4（舍去），
∴C（3，4），
∴在Rt△OCE中，OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OC=OA，
∵OB平分∠AOC，
∴∠1=∠2，
又∵BC∥OA，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC=BC=5，
∴OA∥BC，且OA=BC，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∵OC=OA，
∴平行四邊形OABC是菱形．

點評 本題主要考查了菱形的判定，解決問題的關(guān)鍵是掌握菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．解題時注意，直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，這是得出方程的依據(jù)．