Question

已知：點(diǎn)A、B分別在直角坐標(biāo)系的x、y軸的正半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在射線AO上，點(diǎn)D在線段OB上，直線AD與線段BC相交于點(diǎn)P，設(shè)

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，

CP

PB

=k．
（1）如圖1，當(dāng)a=

1

2

，b=1時(shí)，請求出k的值；
（2）當(dāng)a=

1

3

，b=1時(shí)（如圖2），請求出k的值；當(dāng)a=

3

2

，b=

1

5

時(shí)，k=

15

2

；
（3）根據(jù)以上探索研究，請你解決以下問題：①請直接寫出用含a，b代數(shù)式表示k=

a

b

；②若點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，6），C（-2，0），直線AD為：y=-

1

2

x+4，則k=

5

2

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=

1

2

，b=1時(shí)，由條件可以得知設(shè)

AC

AO

=

1

2

，

BD

DO

=1，可以得出D、C是OB、OA的中點(diǎn)，作DE∥OA交BC于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的中位線定理和平行線分線段成比例定理可以得出結(jié)論．
（2）如圖2，作DF∥OA交BC于點(diǎn)F，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理可以同（1）一樣的方法得出結(jié)論，如圖3，作GB∥OC交PA于點(diǎn)G，可以得出△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．由相似三角形的性質(zhì)及在a=

3

2

，b=

1

5

的情況下就可以得出結(jié)論．
（3）①通過（1）、（2）的計(jì)算就可以得出：a=

1

2

，b=1時(shí)，k=

a

b

=

1 2

1

=

1

2

，a=

1

3

，b=1時(shí)，k=

a

b

=

1 3

1

=

1

3

，當(dāng)a=

3

2

，b=

1

5

時(shí)，k=

a

b

=

3 2

1 5

=

15

2

，從而可以得出結(jié)論：k=

a

b

；
②根據(jù)直線AD的解析式y(tǒng)=-

1

2

x+4可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出OD的值，再由點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，6），C（-2，0）就可以求出AO，CO，AC的值，從而可以求出a、b的值，直接運(yùn)用k=

a

b

就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，作DE∥OA交BC于點(diǎn)E，
∵

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，且a=

1

2

，b=1，
∴

AC

AO

=

1

2

，

BD

DO

=1，
∴AO=2AC，BD=DO，
∴D、C是OB、OA的中點(diǎn)．
∴OC=AC．
∵DE∥OA，
∴BE=CE，
∴DE=

1

2

OC，
∴DE=

1

2

AC．
∵DE∥OA，
∴△DEP∽△ACP，
∴

DE

AC

=

EP

PC

，
∴

EP

PC

=

1

2

，
∴PC=2PE，
∴EC=3PE，
∴BE=3PE，
∴BP=4PE．
∴

CP

PB

=

2PE

4PE

=

1

2

，
∵

CP

PB

=k，
∴k=

1

2

；
（2）如圖2，作DF∥OA交BC于點(diǎn)F，
∵

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，且a=

1

3

，b=1，
∴

AC

AO

=

1

3

，

BD

DO

=1
∴AO=3AC，BD=DO，
∴OC=2AC．
∵DF∥OA，
∴BF=CF，DF=

1

2

OC，
∴DF=AC．
∵DF∥OA，
∴△DFP∽△ACP，
∴

DF

AC

=

PF

PC

=1，
∴PF=PC，
∴CF=2PC，
∴BP=3PC，
∴

CP

PB

=

CP

3CP

=

1

3

，
∵

CP

PB

=k，
∴

CP

PB

=

1

3

，
∴k=

1

3

；
如圖3，作GB∥OC交PA于點(diǎn)G，
∴△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．
∴

GB

OA

=

DB

DO

，

CP

PB

=

AC

GB

．
∵

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，
a=

3

2

，b=

1

5

時(shí)，
∴

AC

AO

=

3

2

，

BD

DO

=

1

5

∴2AC=3AO，

GB

OA

=

1

5

，
∴AC=

3

2

AO，AO=5GB，
∴AC=

15

2

GB，
∴

CP

PB

=

25 2 GB

GB

=

15

2

．
∵

CP

PB

=k，
∴k=

15

2

；
（3）①通過（1）、（2）的計(jì)算就可以得出：
a=

1

2

，b=1時(shí)，k=

a

b

=

1 2

1

=

1

2

，
a=

1

3

，b=1時(shí)，k=

a

b

=

1 3

1

=

1

3

，
a=

3

2

，b=

1

5

時(shí)，k=

a

b

=

3 2

1 5

=

15

2

，
從而可以得出結(jié)論：k=

a

b

；
②如圖4，∵AD的解析式y(tǒng)=-

1

2

x+4，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴D（0，4），
∴OD=4，
∵點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，6），C（-2，0），
∴OA=8，OB=6，OC=2，
∴AC=10，BD=2.2
∵

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，
∴a=

10

8

=

5

4

，b=

2

4

=

1

2

，
∴k=

a

b

=

5 4

1 2

=

5

2

故答案為：

15

2

，

a

b

，

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道相似形綜合試題，考查了作平行線在相似形中的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，解答是尋找k與a、b之間的關(guān)系式是關(guān)鍵．