Question

若一次函數y=2x-1和反比例函數y=

k

2x

的圖象都經過點（1，1）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）已知點A在第三象限，且同時在兩個函數的圖象上，求點A的坐標；
（3）當x為何值時，一次函數的值大于反比例函數的值？當x為何值時，一次函數的值小于反比例函數的值？
（4）利用（2）的結果，若點B的坐標為（2，0），且以點A、O、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點（1，1）的坐標代入反比例函數y=

k

2x

中可得k的值，進而可得反比例函數的解析式；
（2）根據題意，可得方程組

y=2x-1 y= 1 x

，解可得x與y的值，又有A在第三象限，可得答案；
（3）由（2）中求出的兩函數的交點，根據兩交點的橫坐標及0把x軸分為四個區(qū)間，從圖象上找出一次函數圖象在反比例函數圖象上邊的兩個區(qū)間即為一次函數的值大于反比例的函數值時，x的取值范圍；剩下的兩個區(qū)間即為一次函數的值小于反比例的函數值時，x的取值范圍；
（4）根據題意畫出圖形，如圖所示，利用（2）求出定的兩函數的交點A與C的坐標，根據平行四邊形的性質，分別求出三種情況各自滿足題意得P點坐標即可．

解答：解：（1）∵反比例函數y=

k

2x

的圖象經過點（1，1），
∴1=

k

2

，解得k=2，
∴反比例函數的解析式為y=

1

x

；

（2）解方程組

y=2x-1 y= 1 x

得

x=1 y=1

，

x=- 1 2 y=-2

，
∵點A在第三象限，且同時在兩個函數圖象上，
∴A（ -

1

2

，-2）；

（3）根據一次函數和反比例函數的解析式，畫出圖形，如圖所示：
根據直線與反比例的交點坐標為A（-

1

2

，-2），C（1，1），
則當-

1

2

＜x＜0或x＞1時，一次函數的值大于反比例的函數值；
當x＜-

1

2

或0＜x＜1時，一次函數的值小于反比例的函數值；

（4）根據題意畫出圖形，如圖所示：
根據圖形及平行四邊形的性質分別得到：
P₁（

3

2

，-2），P₂（ -

5

2

，-2），P₃（

5

2

，2）．

點評：此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用，注意運用數形結合的數學思想．