Question

已知，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點(diǎn)P（1，-2）、Q（-1，2），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（A在B左側(cè)，與y軸交于C點(diǎn)，連接AC、BC．
（1）求a與c的關(guān)系式；
（2）若

1

OA

+

1

OB

=

4

OC

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線的解析式；
（3）是否存在滿足條件tan∠CAB•cot∠CBA=1的拋物線？若存在，請求出拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將P、Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，將b消去即可得出a，c的關(guān)系式．
（2）本題可先將所給的等式進(jìn)行適當(dāng)變形，然后設(shè)出A、B的橫坐標(biāo)，用韋達(dá)定理求出待定系數(shù)的值，即可求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)已知的條件可知：∠CAB=∠CBA，此時OA=OB，那么拋物線關(guān)于y軸對稱，此時對稱軸x=0，據(jù)此可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）將P、Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得：

a+b+c=-2 a-b+c=2

，
解得b=-2，a=-c．
（2）由①知y=ax²-2x-a，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）．
令y=0，ax²-2x-a=0；
x₁+x₂=

2

a

，x₁x₂=-1，
∴A在x負(fù)半軸上，B在x正半軸上
∴OA=-x₁，OB=x₂

1

OA

+

1

OB

=

OB+OA

OA•OB

=

x2-x1

-x2x1

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4a2+4

|a|

4

OC

=

4

|a|

∴4=

4a2+4

，
即a²=3，
∴a=±

3

，
∴拋物線的解析式為y=

3

x²-2x-

3

或y=-

3

x²-2x+

3

．
（3）∵tan∠CAB•cot∠CBA=1，
∴OA=OB，
由于A、B分別在原點(diǎn)兩側(cè)，
因此A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，即拋物線的對稱軸為y軸，
∴x=

1

a

=0，顯然不成立，
因此不存在這樣的拋物線．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識．