Question

16．我們把一個(gè)半圓與二次函數(shù)圖象的一部分合成的封閉圖形稱(chēng)為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)（半圓與二次函數(shù)圖象的連接點(diǎn)除外），那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)D，AB為半圓直徑，半圓圓心為點(diǎn)M，半圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）分別求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D的“蛋圓”的切線的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）連接CM，易求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到AB的長(zhǎng)，則圓的半徑可求出，再由勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，繼而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由（1）可知點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”的切線交x軸于點(diǎn)G，然后根據(jù)三角形性質(zhì)求出G點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線GC的解析式；因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線過(guò)D點(diǎn)，所以本題可設(shè)它的解析式為y=kx-3．根據(jù)圖象可求出拋物線的解析式，因?yàn)橄嗲�，所以它們的交點(diǎn)只有一個(gè)，進(jìn)而可根據(jù)一元二次方程的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），
∴AB=4，
∵半圓圓心為點(diǎn)M，
∴BM=AM=2，
∴OM=1，
連接CM，
∴OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，$\sqrt{3}$）；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”的切線交x軸于點(diǎn)G，
∵GC是⊙M的切線，
∴∠GCM=90°，
∴cos∠OMC=$\frac{OM}{MC}$=$\frac{MC}{MG}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{MG}$，
∴MG=4，
∴G（-3，0），
∴直線GC的表達(dá)式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
設(shè)過(guò)點(diǎn)D的直線表達(dá)式為y=kx-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y{=x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
∴x²-（2+k）x=0，
∴△=[-（2+k）]²=0，
∴k=-2，
∴過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”的切線的表達(dá)式為y=-2x-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查和圓以及二次函數(shù)有關(guān)的綜合題目，需靈活運(yùn)用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，并利用切線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程是解題關(guān)鍵，題目的設(shè)計(jì)新穎，是一道不錯(cuò)的中考題目．