Question

【題目】如圖1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC內(nèi)部作∠MAN=45°．AM、AN分別交BC于點(diǎn)M，N．
（1）將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB邊與AC邊重合，把旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)Q，得到ACQ，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出△ACQ；（不寫(xiě)出畫(huà)法）

（2）在（1）中作圖的基礎(chǔ)上，連接NQ，
①求證“MN=NQ”；
②寫(xiě)出線段BM，MN和NC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
（3）線段GS，ST和TH之間滿足的數(shù)量關(guān)系是
（4）設(shè)DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，△ACQ即為所求

（2）

解：①證明：由旋轉(zhuǎn)可得，△ABM≌△ACQ

∴AM=AQ，∠BAM=∠CAQ

∵∠MAN=45°，∠BAC=90°

∴∠BAM+∠NAC=45°

∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45°

在△MAN和△QAN中

∴△MAN≌△QAN（SAS）

∴MN=NQ

②MN2=BM2+NC2

由①中可知，MN=NQ，MB=CQ

又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90°

在Rt△NCQ中，NQ2=CQ2+NC2，即MN2=BM2+NC2

（3）ST2=GS2+TH2
（4）

解：如圖，∵DE=DF，DG=DP，∠EDF=∠GDP=45°

∴∠DPK=∠DEP

又∵∠PDK=∠EDP

∴△DPK∽△DEP

∴ ，即DP2=DKDE

∵DK=a，DE=b

∴DP=

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行作圖即可；（2）先根據(jù)SAS判定△MAN≌△QAN，進(jìn)而得出結(jié)論，再由全等三角形和旋轉(zhuǎn)，得出MN=NQ，MB=CQ，最后根據(jù)Rt△NCQ中的勾股定理得出結(jié)論；（3）運(yùn)用②中的方法即可得出類(lèi)似的加侖；（4）先判定△DPK∽△DEP，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．