Question

已知二次函數y=x²-2mx+1．記當x=c時，函數值為y_c，那么，是否存在實數m，使得對于滿足0≤x≤1的任意實數a，b，總有y_a+y_b≥1．

Answer 1

【答案】分析：求y_a+y_b≥1，實際上是求兩個函數在0≤x≤1內的最小值之和大于或等于1，據此把問題轉化，根據對稱軸x=m，是否在0≤x≤1內，分類討論．
解答：解：設y在0≤x≤1的最小值為M，原問題等價于2M≥1，M≥，
二次函數y=x²-2mx+1的圖象是一條開口向上的拋的線，
①當對稱軸x=m≤0時，由圖象可知，x=0時，y_最小=1，這時1≥成立；
②當對稱軸x=m，0＜m＜1時，由圖象可知x=m時，y_最小且y_最小=1-m²，有1-m²≥，m²≤，故有0＜m≤；
③當對稱軸x=m，m≥1時，由圖象可知，x=1時，y_最小且y_最小=2-2m，這時有2-2m≥，m≤與m≥1矛盾．
綜上可知，滿足條件的m存在，且m的取值范圍是m≤．
點評：本題主要考查了二次函數的性質，由于圖象開口向上，對稱軸與拋物線的交點處函數有最小值，需要根據對稱軸與x的范圍，分類討論，這些性質和分類討論的思想要求掌握．