在直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm.
(1)求BC的長;
(2)點P為斜邊BC上的一個動點(P與B、C不重合),PC=xcm,以點P為中心把△ABC按逆時針方向旋轉90°至△DEF.
①當點P在如圖所示的位置時,DF交AC、BC分別于點N、Q,EF交AC于點M,求MF的長;
②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為ycm2,求出y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍.

【答案】分析:(1)因為ABC為直角三角形,由兩條邊的長結合勾股定理求解即可.
(2)①由條件EF⊥BC于P,∠MPC=90°得出△PMC∽△ABC,根據(jù)比例關系求出MP的長,即可得出FM的長.
②先根據(jù)題意結合圖形求出x的取值范圍,得出當x=時為分界點,當x在不同區(qū)間時,面積有不同的求解方法,分不同的區(qū)間求解即可.
解答:解:(1)∵在直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,
∴根據(jù)勾股定理得BC=5cm.

(2)①∵繞點P旋轉90°,EF⊥BC于P,∠MPC=90°
又∠C=∠C,
∴△PMC∽△ABC,
=,
∴MP=,
∵PC=PM=x,
∴FM=
②當A與N重合時.
由PC=x可得MC=,AM=4-
△FNM∽△CPM,
解得x=
當A與M重合時,容易求得x=
i)當0<x≤
y=S△FPQ-S△FNM=S△CPM-S△FNM=;
ii)當<x≤
y=S△ABC-S△CPM=6-;
iii)當<x<5時,
y=S△MPB=
點評:本題考查了二次函數(shù)的運用,解題時要注意結合圖形,分情況解題,不要漏掉一種情況.
練習冊系列答案
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6、如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=4,點P是半圓弧AC的中點,連接BP,線段即把圖形APCB(指半圓和三角形ABC組成的圖形)分成兩部分,則這兩部分面積之差的絕對值是
4

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已知:在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=4,cosA=
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,那么AB=
 

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如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=4,將△ABC繞點A逆時針旋轉60°,精英家教網(wǎng)使點B落在點E處,點C落在點D處.P、Q分別為線段AC、AD上的兩個動點,且AQ=2PC,連接PQ交線段AE于點M.
(1)設AQ=x,△APQ面積為y,求y關于x的函數(shù)關系式,并寫出它的定義域;
(2)若以點P為圓心,PC為半徑的圓與邊AB相切,求AQ的長;
(3)是否存在點Q,使得△AQM、△APQ和△APM這三個三角形中一定有兩個三角形相似?若存在請求出AQ的長;若不存在請說明理由.

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在直角三角形ABC中,∠C=90°,三內角∠A,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c,若a=15,c=25,則b=
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如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB,P,Q兩點分別在線段AC和過點A且垂直于AC的射線AM上運動,且點P不與點A,C重合,那么當點P運動到什么位置時,才能使△ABC與△APQ全等?

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