Question

（1998•河北）已知：如圖△ABC中，∠A的平分線AD交BC于D，⊙O過點(diǎn)A，且與BC相切于D，與AB、AC分別相交于E、F，AD與EF相交于G．
（1）求證：AF•FC=GF•DC；
（2）已知AC=6cm，DC=2cm，求FC、GF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)要證明的線段之間的關(guān)系，顯然可以構(gòu)造到三角形AFG和三角形DCF中，根據(jù)弦切角定理以及圓周角定理的推論發(fā)現(xiàn)∠FDC=∠EFD，則EF∥BC，得到∠AFE=∠C，根據(jù)兩個(gè)角對應(yīng)相等得到兩個(gè)三角形相似，從而證明結(jié)論．
（2）由切割線定理即可求出CF的長，根據(jù)三角形相似即可求出GF的長．

解答：（1）證明：連接DF，
∵AD是△ABC的角平分線，BC是⊙O的切線，∠CDF=∠EFD=∠DAC=∠EAD，
∴EF∥BC．
∴∠C=∠AFE．
∴△AFG∽△DCF，
∴

AF

DC

=

GF

CF

，
即AF•FC=GF•DC；

（2）解：∵BC是⊙O的切線，
∴CD²=CF•AC，
∵AC=6cm，DC=2cm，
∴CF=

2

3

，
∴AF=AC-CF=

16

3

∵△AFG∽△DCF，
∴

AF

DC

=

GF

CF

，
∴

16 3

2

=

GF

2 3

，
∴GF=

16

9

．

點(diǎn)評：本題考查弦切角定理、圓周角定理以及切割線定理的運(yùn)用，此類題一般首先能夠把線段放到兩個(gè)三角形中，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)．