Question

已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點E在邊BC的延長線上，DA⊥AE，AD=AE．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）如果點F是DE的中點，求證：CF=DF．

Answer 1

（1）證明：∵DA⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
在△ABE和△ACD中，
∵，
∴△ABE≌△ACD；

（2）證明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠ACD，
∵∠B=∠ACB，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°，
∵點F是DE的中點，
∴CF=DE=DF；
分析：（1）根據DA⊥AE，得出∠DAE=90°，再根據∠BAC=90°，得出∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即可證出△ABE≌△ACD；
（2）根據△ABE≌△ACD，得出∠B=∠ACD，再根據∠B=∠ACB，∠B+∠ACB=90°，得出∠DCE=90°，最后根據點F是DE的中點，得出CF=DF．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是證出∠BAE=∠CAD．