Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點P從點B出發(fā)沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QKIBC，交折線段CD-DA-AB于點E．點P、Q同時開始運動，當(dāng)點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)點P到達(dá)終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；
（2）當(dāng)點P運動到AD上時，t為何值能使PQ∥DC？
（3）t為何值時，四點P、Q、C、E成為一個平行四邊形的頂點？
（4）△PQE能為直角三角形時t的取值范圍

0＜t≤25且t≠

155

8

或t=35

．（直接寫出結(jié)果）（注：備用圖不夠用可以另外畫）

Answer 1

分析：（1）把BA，AD，DC它們的和求出來再除以速度每秒5個單位就可以求出t的值，然后也可以求出BQ的長；
（2）如圖1，若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD為平行四邊形，從而PD=QC，用t分別表示QC，BA，AP，然后就可以得出關(guān)于t的方程，解方程就可以求出t；
（3）分情況討論，當(dāng)P在BA上運動時，E在CD上運動．0≤t≤10，QC的長度≤30，PE的長度＞AD=75，QC＜PE，此時不能構(gòu)成以P、Q、C、E為頂點的平行四邊形；當(dāng)P點運動到AD上，E在AD上，且P在E的左側(cè)時，P、Q、C、E為頂點的四邊形可能是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)建立方程求出其解就可以得出結(jié)論；當(dāng)P在E點的右側(cè)且在AD上時，t≤25，P、Q、C、E為直角梯形，當(dāng)P在CD上，E在AD上QE與PC不平行，P、Q、C、E不可能為平行四邊形，
（4）①當(dāng)點P在BA（包括點A）上，即0＜t≤10時，如圖2．過點P作PG⊥BC于點G，則PG=PB•sinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時△PQE總能成為直角三角形
②當(dāng)點P、E都在AD（不包括點A但包括點D）上，即10＜t≤25時，如圖1．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時，△PQE為直角三角形，但點P、E不能重合，即5t-50+3t-30≠75，解得t≠

155

8

．③當(dāng)點P在DC上（不包括點D但包括點C），即25＜t≤35時，如圖3．由ED＞25×3-30=45，
可知，點P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會是直角．由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角．對于∠PQE，
∠PQE≤∠CQE，只有當(dāng)點P與C重合，即t=35時，如圖4，∠PQE=90°，△PQE為直角三角形．

解答：解：（1）t=（50+75+50）÷5=35（秒）時，點P到達(dá)終點C，
此時，QC=35×3=105，
∴BQ的長為135-105=30．
（2）如圖1，若PQ∥DC，
∵AD∥BC，
∴四邊形PQCD為平行四邊形，
∴PD=QC，
由QC=3t，BA+AP=5t
得50+75-5t=3t，
解得t=

125

8

．
∴當(dāng)t=

125

8

時，PQ∥DC．
（3）當(dāng)P在BA上運動時，E在CD上運動．0≤t≤10，QC的長度≤30，PE的長度＞AD=75，QC＜PE，此時不能構(gòu)成以P、Q、C、E為頂點的平行四邊形；
當(dāng)P點運動到AD上，E在AD上，且P在E的左側(cè)時，P、Q、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，如圖5，
∴PE=QC．
如圖1，作DH⊥BC于H，AG⊥BC于G，
∠AGB=∠DHC=90°
∴四邊形AGHD是矩形，
∴GH=AD=75．AG=DH．
在△ABG和△DCH中，

AB=DC AG=DH ∠AGB=∠DHC

，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=CH=

1

2

（135-75）=30，
∴ED=3（t-10）
∵AP=5t-50，
∴PE=75-（5t-50）-3（t-10）=155-8t．
∵QC=3t，
∴155-8t=3t，
t=

155

11

．
當(dāng)P在E點的右側(cè)且在AD上時，t≤25，P、Q、C、E為直角梯形，
當(dāng)P在CD上，E在AD上QE與PC不平行，P、Q、C、E不可能為平行四邊形，
∴t=

155

11

；
（4）①當(dāng)點P在BA（包括點A）上，即0＜t≤10時，如圖2．
過點P作PG⊥BC于點G，則PG=PB•sinB=4t，
又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時△PQE總能成為直角三角形．
②當(dāng)點P、E都在AD（不包括點A但包括點D）上，即10＜t≤25時，如圖1．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時，△PQE為直角三角形，但點P、E不能重合，
即5t-50+3t-30≠75，解得t≠

155

8

．③當(dāng)點P在DC上（不包括點D但包括點C），
即25＜t≤35時，如圖3．由ED＞25×3-30=45，
可知，點P在以QE=40為直徑的圓的外部，故
∠EPQ不會是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角．
對于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有當(dāng)點P與C
重合，即t=35時，如圖4，∠PQE=90°，△PQE
為直角三角形．
綜上所述，當(dāng)△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠

155

8

或t=35．
故答案為：0＜t≤25且t≠

155

8

或t=35．

點評：本題綜合性很強(qiáng)，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，平行四邊形的性質(zhì)的運用，勾股定理的性質(zhì)的運用及矩形的性質(zhì)的運用，把圖形的變換放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合已知條件探究圖形的變換，根據(jù)變換的圖形的性質(zhì)求出運動時間．