Question

（2013•包頭）已知拋物線y=x²-3x-

7

4

的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）取點(diǎn)E（-

3

2

，0）和點(diǎn)F（0，-

3

4

），直線l經(jīng)過E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)G是線段BD的中點(diǎn)．
①點(diǎn)G是否在直線l上，請(qǐng)說明理由；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長(zhǎng)，再分OA和OA是對(duì)應(yīng)邊，OA和OC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OP的長(zhǎng)，從而得解；
（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗(yàn)證即可；
②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，求出OE、OF、HD、HB的長(zhǎng)，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是B，從而判斷出點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)，再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點(diǎn)M．

解答：解：（1）令y=0，則x²-3x-

7

4

=0，整理得，4x²-12x-7=0，
解得x₁=-

1

2

，x₂=

7

2

，
所以，A（-

1

2

，0），B（

7

2

，0），
令x=0，則y=-

7

4

，
所以，C（0，-

7

4

），
∵-

b

2a

=-

-3

2×1

=

3

2

，

4ac-b2

4a

=

4×1×(- 7 4 )-(-3)2

4×1

=-4，
∴頂點(diǎn)D（

3

2

，-4）；

（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），
∵A（-

1

2

，0），C（0，-

7

4

），
∴OA=

1

2

，OC=

7

4

，OP=y，
①若OA和OA是對(duì)應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，
∴

OP

OC

=

OA

OA

，
y=OC=

7

4

，
此時(shí)點(diǎn)P（0，

7

4

），
②若OA和OC是對(duì)應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，
∴

PO

OA

=

OA

OC

，
即

y

1 2

=

1 2

7 4

，
解得y=

1

7

，
此時(shí)點(diǎn)P（0，

1

7

），
所以，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，P（0，

7

4

）或（0，

1

7

）；

（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)E（-

3

2

，0）和點(diǎn)F（0，-

3

4

），
∴

- 3 2 k+b=0 b=- 3 4

，
解得

k=- 1 2 b=- 3 4

，
所以，直線l的解析式為y=-

1

2

x-

3

4

，
∵B（

7

2

，0），D（

3

2

，-4），

1

2

（

7

2

+

3

2

）=

5

2

，

1

2

[0+（-4）]=-2，
∴線段BD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（

5

2

，-2），
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=-

1

2

×

5

2

-

3

4

=-2，
所以，點(diǎn)G在直線l上；

②在拋物線上存在符合條件的點(diǎn)M．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（

3

2

，0），
∵E（-

3

2

，0）、F（0，-

3

4

），B（

7

2

，0）、D（

3

2

，-4），
∴OE=

3

2

，OF=

3

4

，HD=4，HB=

7

2

-

3

2

=2，
∵

OE

OF

=

HB

HD

=

1

2

，∠EOF=∠BDH=90°
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE=∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE=90°，
∴∠OEF+∠HBD=90°，
∴∠EGB=180°-（∠OEF+∠HBD）=180°-90°=90°，
∴直線l是線段BD的垂直平分線，
∴點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)B，
∴點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)，
設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，
∵D（

3

2

，-4），E（-

3

2

，0），
∴

3 2 m+n=-4 - 3 2 m+n=0

，
解得

m=- 4 3 n=-2

，
所以，直線DE的解析式為y=-

4

3

x-2，
聯(lián)立

y=- 4 3 x-2 y=x2-3x- 7 4

，
解得

x1= 3 2 y1=-4

，

x2= 1 6 y2=- 20 9

，
∴符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，是（

3

2

，-4）或（

1

6

，-

20

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，求頂點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，點(diǎn)在直線上的驗(yàn)證，相似三角形的判定與性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（2）要根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的不同分情況討論，（3）求出直線l是線段BD的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．