Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于不同的兩點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸的負半軸交于點C．若拋物線頂點的橫坐標為-1，A、B兩點間的距離為10，且△ABC的面積為15．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求出點A和點B的坐標；
（3）在x軸上方，（1）中的拋物線上是否存在點C'，使得以A、B、C'為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點C'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）（2）因為拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于不同的兩點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），所以A和B關于拋物線對稱軸對稱，于是

x1+x2

2

=-1①；又因為A、B兩點間的距離為10，且x₁＜x₂，所以x₂-x₁=10②，△ABC的面積可表示為

x2-x1

2

|c|=15③，將①②③組成方程組，即可解出點A和點B的坐標和拋物線的解析式．
（3）假設三角形相似，畫出圖形，先確定相似三角形的一個對應角，然后求出直線解析式，與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立求出點P的坐標，再根據(jù)勾股定理求出PA的長度，然后利用相似三角形的對應邊成比例進行驗證，符合的，則存在，否則就不合適．

解答：解：（1）（2）因為拋物線過A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且拋物線頂點的橫坐標為-1，
所以是

x1+x2

2

=-1①；
又因為A、B兩點間的距離為10，且x₁＜x₂，
所以x₂-x₁=10②，
因為△ABC的面積為15，所以為

x2-x1

2

×（-c）=15③，
組成方程組得

x1+x2 2 =-1 x2-x1 2 (-c)=15 x2-x1=10

，
解得

c=-3 x1=-6 x2=4

，
于是A（-6，0），B（4，0），
把c=-3，代入y=ax²+bx+c得

36a-6b-3=0 16a+4b-3=0

，
解得

a= 1 8 b= 1 4

，
于是函數(shù)解析式為y=

1

8

x²+

1

4

x-3，
所以點A和點B和點C的坐標分別為A（-6，0），B（4，0），C（0，-3）．
于是可畫出圖形：

（3）①如圖1所示，構造△ABC∽△APB，在y軸正半軸上找C′（0，3）
連接AC′并延長AC′交拋物線于P，連接PB，
則∠PAB=∠BAC，
易得AC′：y=

x

2

+3，
聯(lián)立

y= x2 8 + x 4 -3 y= x 2 +3

，
解得：

x1=-6 y1=0

（A點），

x2=8 y2=7

，
∴P（8，7）
∴AP=

(6+8)2+72

=

245

=7

5

，
∴

AP

AB

≠

AB

AC

，
根據(jù)對稱可得（-10，7）也不成立，
此猜想不成立，

②構造△ABC∽△PAB，
過A點作AP′∥BC交拋物線于P′，
∴∠P′AB=∠ABC，
設直線AP′為y=

3

4

x+b，
則

3

4

×（-6）+b=0，
解得b=

9

2

，
∴直線AP′為：y=

3

4

x+

9

2

，
聯(lián)立

y= x2 8 + x 4 -3 y= 3x 4 + 9 2

，
解得

x1=-6 y1=0

（A點），

x2=10 y2=12

，
∴P′（10，12），
∴P′A=

(6+10)2+122

=20，
∴

P′A

AB

=

AB

BC

=2，
∴△ABC∽△P′AB，
根據(jù)對稱可得P″（-12，12），
∴P′（10，12），P″（-12，12）為所求．

點評：解答此題不僅要熟知二次函數(shù)圖象的性質，更要熟知二次函數(shù)與x軸交點坐標與對稱軸的關系，結合圖形會更易解答．