Question

23、如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，M為AD的中點(diǎn)，連接BM．
（1）請(qǐng)你判斷并寫出∠BMD是∠ABM的幾倍；
（2）如圖2，在?ABCD中，BC=2AB，M為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB，連接EM、CM，請(qǐng)問(wèn)：∠AEM與∠DME是否也具有（1）中的倍數(shù)關(guān)系？若有，請(qǐng)證明；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AM=AB可得出∠AMB=∠ABM=45°，從而可判斷出∠BMD是∠ABM的幾倍．
（2）延長(zhǎng)EM、CD交于點(diǎn)F，先證△AEM≌△DFM，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證得AB∥CD，繼而結(jié)合題意可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=45°，
∴∠BMD=135°．
∴∠BMD=3∠ABM．
（2）證明：延長(zhǎng)EM、CD交于點(diǎn)F．
∵AB∥CF
∴∠AEM=∠DFM．
又∵AM=DM，∠AME=∠FMD，
∴△AEM≌△DFM．
∴∠AEM=∠F，EM=FM．
∵四邊形ABCD中平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD．
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°．
∴∠ECD=90°．
∴MC=MF．
∴∠MCF=∠F，
∴∠EMC=2∠F=2∠AEM．
又∵DM=CD，
∴∠DMC=∠MCF=∠F=∠AEM．
∴∠EMD=3∠AEM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)及三角形全等的判定定理．