Question

（1）如圖14，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=2cm，在AB邊上取一點(diǎn)E，（點(diǎn)E與A、B不重合），連接DE、CE，分矩形ABCD所成的3個(gè)三角形都相似．我們把這樣的點(diǎn)E叫做矩形ABCD的AB邊上的強(qiáng)相似點(diǎn)，在圖12的AB邊上畫出滿足要求的強(qiáng)相似點(diǎn)E，并求AE的長(zhǎng)；（畫圖工具不限）

 

（2）對(duì)于任意一個(gè)矩形ABCD，AB邊上是否一定存在這樣的強(qiáng)相似點(diǎn)E？如果一定存在，請(qǐng)說明理由；如果不一定存在，請(qǐng)舉例說明；

（3）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，當(dāng)點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)時(shí)．

猜想：AE與BE的數(shù)量關(guān)系__________________________.

并分別給出理由.

Answer 1

解：（1）畫圖1，△DAE∽△EBC∽△CED．

∵△DAE∽△EBC,∴ 

設(shè)AE=xcm，則BE=（5-x）cm

即

解得，

∴AE的長(zhǎng)為1cm 或4cm．

 

      

（2）對(duì)于任意的一個(gè)矩形，不一定存在，如正方形．

(答案不惟一，若學(xué)生畫圖說明即可．)

（3）AE與BE的數(shù)量關(guān)系為：BE＝2AE或BE＝AE

（注：寫出一個(gè)關(guān)系即可得1分，全對(duì)得2分，下面證明共兩種情況，每種情況占2分，共4分，具體方法請(qǐng)酌情賦分。）

理由如下：

∵DA∥CB  ∴∠A ＝∠B＝90°

第一種情況：如圖3，∵點(diǎn)E是梯形ABCD的AB 邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，

∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，

∴△ADE∽△BCE∽△DCE．

所以∠DEA＝∠CEB＝∠DEC＝60°，…說明DE＝2AE，CE＝2BE，CE＝2DE，

即：2BE＝2×2AE

所以BE＝2AE．