Question

已知⊙O的半徑為3，⊙O的切線長AB為6，B為切點，則點A到⊙O上的最短距離是m，最長距離是n，則m+n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意畫出圖形，找出點A到圓O的最短距離m和最長距離n，根據切線的性質可知圓的切線垂直于經過切點的半徑得到AB⊥OB，即三角形AOB為直角三角形，然后根據勾股定理列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后利用m的值加上圓的直徑就可以得到最長距離n的值，進而求出m+n的值．
解答：解：由題意可知AC為點A到⊙O上的最短距離是m，AD為最長距離是n，
∵AB為圓O的切線，且B為圓O的切點，
∴AB⊥OB，
又OB=3，AB=6，AC=m，
∴AO=m+3，
在直角三角形AOB中，根據勾股定理得：（m+3）²=3²+6²，
解得m=3-3，
所以AD=n=AC+CD=3-3+6=3+3，
則m+n=3-3+3+3=6，
故答案為：6．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．本題的關鍵是根據題意畫出圖形，找出點A到圓O的最短距離和最長距離．