Question

如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，分別過D，C作DE∥OC，CE∥OD．
（1）圖中有若干對相似三角形，請至少寫出三對相似（不全等的）三角形，并選擇其中一對加以證明；
（2）求證：DM=

1

2

OB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似，即可求得相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OB=OD，OA=OC，又由CE∥OD，可得OM=

1

2

CE，又由四邊形DOCE為平行四邊形，即可證得DM=

1

2

OB．

解答：（1）解：相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△ABM∽△NDM，
∵CE∥OD，
∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE，
∴△ABM∽△NDM∽△NCE，
∵DE∥OC，
∴△EDM∽△AOM，△DNE∽△CNA，
∴△AOM∽△ACE∽△EDM；
∴相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵CE∥OD，
∴AM=ME，
∴OM=

1

2

CE，
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四邊形DOCE為平行四邊形，
∴CE=OD，
∴OM=

1

2

OD=

1

2

OB．

點評：此題考查了相似三角形的判定與平行四邊形的判定與性質．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似性質的應用．