Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，過(guò)點(diǎn)A作AE∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABD=∠CBD；
（2）若∠C=2∠E，求證：AB=DC；
（3）在（2）的條件下，sinC=，AD=，求四邊形AEBD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩直線AD∥BC，推知內(nèi)錯(cuò)角∠ADB=∠CBD；在△BAD中，根據(jù)等邊AB=AD，推知等角∠ADB=∠ABD；所以由等量代換證得∠ABD=∠CBD；
（2）由兩直線AE∥DB，推知同位角∠E=∠CBD；利用（1）的結(jié)果、等量代換求得∠ABC=2∠CBD=2∠E；根據(jù)已知條件知∠ABC=∠C，最后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知AB=DC；
（3）過(guò)D作DF⊥BC，垂足為F，構(gòu)造四邊形AEBD的高．在直角三角形CDF中，利用角的三角函數(shù)值的意義求得=；利用（2）的結(jié)論以及勾股定理求得CD=，DF=；最后根據(jù)平行四邊形的判定定理知四邊形AEBD是平行四邊形，再由平行四邊形的面積公式：S=底×高，求得S_{四邊形AEBD}=AD•DF=．
解答：（1）證明：∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD
∵AB=AD
∴∠ADB=∠ABD
∴∠ABD=∠CBD；

（2）證明：∵AE∥DB
∴∠E=∠CBD
由（1）得∠ABD=∠CBD
∴∠ABC=2∠CBD=2∠E
又∵∠C=2∠E
∴∠ABC=∠C
∴在梯形ABCD中，AB=DC；

（3）解：過(guò)D作DF⊥BC，垂足為F，由sinC=，得=
由（2）得CD=AB，又∵AB=AD=，
∴CD=，DF=
∵AD∥BC，AE∥DB
∴四邊形AEBD是平行四邊形
∴S_{四邊形AEBD}=AD•DF=×=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、解直角三角形．解答該題時(shí)，充分利用了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角（同位角）相等．