Question

如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）。
（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝______，PD＝______；
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；
（3）如圖②，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1） QB＝8-2t，PD＝t； （2）不存在．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10， ∵ PD∥BC， ∴△APD∽△ACB， ∴，即：， ∴AD=t， ∴BD＝AB-AD＝10-t， ∵ BQ∥DP， ∴當(dāng)BQ＝DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即8-2t＝t，解得：， 當(dāng)t＝時(shí)，PD=，BD＝10-， ∴DP≠BD， ∴□PDBQ不能為菱形， 設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，則BQ＝8-vt，PD＝t，BD＝10-t， 要使四邊形PDBQ為菱形，則PD＝BD＝BQ， 當(dāng)PD＝BD時(shí)，即， 解得：t=， 當(dāng)PD＝BQ時(shí)，t＝時(shí)，即，解得：v=；  （3）如圖2，以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系， 依題意，可知0≤t≤4，當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（3，0）； 當(dāng)t＝4時(shí)，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（1，4），設(shè)直線M1M2的解析式為y＝kx＋b， ∴， 解得：， ∴直線M1M2的解析式為y＝-2x＋6， ∵ 點(diǎn)Q（0，2t），P（6-t，0）， ∴在運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)為（，t）， 把x＝，代入y＝-2x＋6，得y＝-2×＋6＝t， ∴點(diǎn)M3在直線上， 過點(diǎn)M2作M2N⊥x軸于點(diǎn)N，則M2N＝4，M1N＝2， ∴M1M2＝2， ∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為2單位長(zhǎng)度。