Question

AB是⊙O的直徑，AB=4，D是⊙O上異于端點(diǎn)A、B的一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到C使CD=AD，連接BC，BD．
（1）求證：AB=BC；
（2）設(shè)AD=x，△ABC的面積為y，請(qǐng)你寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）何時(shí)△ABC的面積最大？請(qǐng)你求出這個(gè)面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接BD，構(gòu)造Rt△ABD和Rt△BCD，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明△ABD≌△CBD，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BC=AB；
（2）利用（1）中的Rt△ABD是直角三角形，由勾股定理求得AB²=AD²+BD²，然后把x與AB=4代入表示出BD，再利用三角形的面積公式列式即可得到y(tǒng)與x間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）把x移到根號(hào)下，然后配方成頂點(diǎn)式的二次函數(shù)的形式，再確定最值即可．
解答：（1）證明：如圖，連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=180°-∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠CDB，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴BC=AB=4；

（2）解：由（1），AB²=AD²+BD²，
又∵AB=4，AD=x，
∴BD==，
∴△ABC的面積為y=AC•BD=×2x=x；

（3）解：方法一：
過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
可知y=S_△ABC=AB•CH=2CH，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知CH≤BC，
當(dāng)且僅當(dāng)AB與BC垂直時(shí)，CH=BC=4，
此時(shí)，△ABC的面積最大，最大面積為8．
方法二：
由（2），△ABC的面積為y=x=，
∵16x²-x⁴=-（x²-8）²+64，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x²=8，即時(shí)，16x²-x⁴可以取得最大值64，
此時(shí)△ABC的面積為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要注意靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，仔細(xì)分析細(xì)心解答方可解決．