Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，在對(duì)角線BD上找一點(diǎn)P，使△MNP的周長(zhǎng)最小，則此時(shí)PM+PN=________．

Answer 1

2
分析：根據(jù)題得出要使△MNP的周長(zhǎng)最小，只要MP+NP最小即可，過(guò)N作NG⊥BD交BD于G，交CD于F，連接MF交BD于P，根據(jù)正方形性質(zhì)求出NG=DG=FG，得出N、F關(guān)于BD對(duì)稱，求出MP+NP=MP+PF=MF，得出此時(shí)的PN+PM的值最小，得出四邊形AMFD是平行四邊形，求出MF=AD=2，即可求出MP+NP的值．
解答：
∵DN=AM=AN=1，∠A=90°，
∴由勾股定理求出MN=，
即MN值一定，
∴要使△MNP的周長(zhǎng)最小，只要MP+NP最小即可，
過(guò)N作NG⊥BD交BD于G，交CD于F，連接MF交BD于P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠NDB=∠FDB=∠ADC=45°，
∴∠DNG=∠DFG=90°-45°=45°，
∴∠DNG=∠NDG，∠DFG=∠FDG，
∴NG=DG=FG，
即N、F關(guān)于BD對(duì)稱，
∴PN=PF，
∴MP+NP=MP+PF=MF，
即此時(shí)的PN+PM的值最小，
∵BD⊥NF，NG=FG，
∴DN=DF=1=AM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AM∥DF，
∴四邊形AMFD是平行四邊形，
∴MF=AD=2，
即MP+NP=2，
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)和軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，題目綜合性比較強(qiáng)，但比較典型，是一道比較好的題目，有一定的難度．