Question

拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）交x軸于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，以BD為直徑的⊙M恰好過點(diǎn)C．
（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P使△PBD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0）一定關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因而函數(shù)的對稱軸是x=1，把x=1代入拋物線的解析式就可以求出D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，易證△DEC∽△COB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等就可以求出a的值．從而求出拋物線的解析式；
（3）本題應(yīng)分∠BPD=90°，∠DBP=90°，∠BDP=90°三種情況進(jìn)行討論．第一種情況P就是滿足條件的點(diǎn)．
第二種情況中，過點(diǎn)P₂作P₂R⊥x軸于點(diǎn)R，由△BP₂R∽△DBH就可以求出．
第三種情況，設(shè)DP₃的延長線交y軸于點(diǎn)N，可證△EDN∽△HDB，求出直線DN的解析式，就可以求拋物線與直線DN的交點(diǎn)．

解答：解：（1）（方法一）由題意：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴點(diǎn)C（0，-3a），D（1，-4a），
（方法二）由題意：

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得

b=-2a c=-3a

．
∴y=ax²-2ax-3a（下同方法一）；

（2）（方法一）過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，易證△DEC∽△COB
∴

DE

OC

=

CE

OB

∴

1

-3a

=

-a

3

∴a²=1．
∵a＜0，
∴a=-1．
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．
（方法二）過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，過M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，
設(shè)⊙M交x軸于另一點(diǎn)H，交y軸于另一點(diǎn)F，可先證四邊形OHDE為矩形，則OH=DE=1，再證OF=CE=-a，
由OH•OB=OF•OC得：（-a）（-3a）=1×3，
∴a²=1；（下同法一）

（3）符合條件的點(diǎn)P存在，共3個(gè)
①若∠BPD=90°，P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則P₁（0，3）（P₁表示第一個(gè)P點(diǎn)，下同）
②若∠DBP=90°，過點(diǎn)P₂作P₂R⊥x軸于點(diǎn)R，
設(shè)點(diǎn)P₂（p，-p²+2p+3）
由△BP₂R∽△DBH得，

BR

DH

=

P2R

BH

，
即

-p+3

4

=

p2-2p-3

2

，
解得p=-

3

2

或p=3（舍去）
故P2(-

3

2

，-

9

4

)
③若∠BDP=90°，設(shè)DP₃的延長線交y軸于點(diǎn)N，可證△EDN∽△HDB，
求得EN=

1

2

，
∴N（0，

7

2

）．
求得DN的解析式為y=

1

2

x+

7

2

，
求拋物線與直線DN的交點(diǎn)得P₃（

1

2

，

15

4

），
綜上所述：符合條件的點(diǎn)P為（0，3）、(-

3

2

，-

9

4

)、（

1

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)與圓以及相似三角形相結(jié)合的題目，難度較大，利用數(shù)形結(jié)合有利于對題目的理解．