Question

18．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）；
（2）設(shè)拋物線y=x²-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M，求四邊形ABMC的面積．
（3）在直線CB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把C（0，-3）代入拋物線解析式可得k值，令y=0，可得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）過M點(diǎn)作x軸的垂線，把四邊形ABMC分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，求它們的面積和；
（3）設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD，把△BCD的面積轉(zhuǎn)化成求△BOC，△DOC，△DOB的面積的和差，求表達(dá)式的最大值．

解答 解：（1）在y=x²-2x-3中，
令y=0，
即x²-2x-3=0，
解得 x₁=-1，x₂=3．
令x=0，得y=-3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
故答案是：（-1，0）；（3，0）；（0，-3）；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-4）．
如圖1，連接OM、AC、CM、MB．
則S_△AOC=$\frac{3}{2}$，S_△MOC=$\frac{3}{2}$，
S_△MOB=6，
∴S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_△MOC+S_△MOB=9；

（3）如圖2，設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD．
則0＜m＜3，m²-2m-3＜0
∵△DOC的面積=$\frac{3}{2}$m，
△DOB的面積=-$\frac{3}{2}$（m²-2m-3），
∴S_△BDC=S_△DOC+S_△DOB-S_△BOC
=$\frac{3}{2}$m-$\frac{3}{2}$（m²-2m-3）-$\frac{1}{2}×$3×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴存在點(diǎn)D（ $\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），使△BCD的面積最大為 $\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及不規(guī)則圖形面積的求法等二次函數(shù)綜合題型．解答（2）題時(shí)，也可過點(diǎn)M作拋物線的對(duì)稱軸，將四邊形ABMC的面積轉(zhuǎn)化為求一個(gè)梯形與兩個(gè)直角三角形面積的和．