Question

5．如圖，正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，DP⊥CE于點(diǎn)P．連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，求AP：PG的值．

Answer 1

分析 作PH⊥AB于H，由正方形的性質(zhì)和已知條件得出CD=2AE=2BE，證明Rt△PCD∽R(shí)t△BEC，利用相似比得到CD：CE=CP：BE，然后利用等線段代換和比例的性質(zhì)易得CP•CE=2AE²；設(shè)AE=BE=a，則BC=2a，根據(jù)勾股定理計(jì)算出CE=$\sqrt{5}$a，利用CP•CE=2AE²可計(jì)算出CP，求出EP，然后證明△EPH∽△ECB，利用相似比可計(jì)算出EH，得出AH，BH，由PH∥BG根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)果．

解答 解：作PH⊥AB于H，如圖所示：
∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，CD=2AE=2BE，
∵DP⊥CE于點(diǎn)P，
∴∠DPC=90°，
∴∠CDP+∠PCD=90°，
而∠ECB+∠PCD=90°，
∴∠ECB=∠CDP，
∴Rt△PCD∽R(shí)t△BEC，
∴CD：CE=CP：BE，
∴2AE：CE=CP：AE
∴CP•CE=2AE²；
設(shè)AE=BE=a，則BC=2a，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵CP•CE=2AE²
∴CP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴EP=EC-CP=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
∵PH∥BC，
∴△EPH∽△ECB，
∴EH：EB=EP：EC，
即EH：a=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a：$\sqrt{5}$a，
∴EH=$\frac{3}{5}$a，
∴AH=AE+EH=$\frac{8}{5}$a，BH=BE-EH=$\frac{2}{5}$a，
∵PH∥BG，
∴$\frac{AP}{PG}$=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{\frac{8}{5}a}{\frac{2}{5}a}$=4；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．