Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，0），過B作BA⊥x軸于點(diǎn)A，作BC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P沿OC自點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P的速度之比為1：n，連接PB、PQ．
（1）求經(jīng)過C、B、D三點(diǎn)的拋物線；
（2）當(dāng)n=______

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)經(jīng)過C、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)已知條件可求出C的坐標(biāo)為（0，8），把C，D，B的坐標(biāo)分別代入求出a，b，c的值即可；
（2）若使∠OPQ=30°則由30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出n的值，45°，60°思路類同；
（3）若存在PB⊥PQ，則△BCP∽△PBQ，設(shè)OQ=x，則有PO=xn，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式△≥即可求出x的取值范圍，即OQ的取值范圍；
（4）因?yàn)榈妊�三角形MBD的腰和底確定，所以要分三種情況討論①DB=DM時(shí)；②BM=DM時(shí)；③MA=MB時(shí)分別求出符合題意M的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過C、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），
B作BA⊥x軸于點(diǎn)A，作BC⊥y軸于點(diǎn)C，
∴四邊形BCOA是矩形，
∴OC=AB=8，
∴C的坐標(biāo)是（0，8），
∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，0），
∴，
解得：，
故經(jīng)過C、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=-x2+x+8；

（2）若使∠OPQ=30°，即tan∠OPQ==，
則=，
解得n=，
若使∠OPQ=45°，則OP=OQ，
則n=1，
若使∠OPQ=60°，tan∠OPQ==，
則=，
解得n=，
故答案為：，1，；

（3）若存在PB⊥PQ，則∠BPQ=90°，
∵∠C=∠POQ=90°，
∴∠CPB+∠CBP=90°，∠CPB+∠OPQ=90°，
∴∠CBP=∠OPQ，
∴△BCP∽△PBQ，
∴，
設(shè)OQ=x，則有PO=xn，
∴，
化簡得：xn²-8n+6=0，
∵△=（-8）2-4•x•6≥0，
∴x≤，
∵OQ=x是線段的長度，
∴0＜OQ≤；

（4）①當(dāng)DB=DM時(shí)，以D為圓心，DB為半徑作圓D，交矩形OA邊于M₁，求得M₁的坐標(biāo)為（9-，0）；
②BM=DM時(shí)，以B為圓心，以BD為半徑作圓B，交OA邊于M₂，交OC邊于M₃，由勾股定理得：M₂的坐標(biāo)為（3，0），M₃的坐標(biāo)為（0，8-）；
③MA=MB時(shí)，作BD垂直平分線分別交矩形AB邊M4，交OC邊于M5，由勾股定理得M₄的坐標(biāo)為（6，），M₅的坐標(biāo)為（0，）；
綜上所述符合條件要求的M有五個(gè)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是（9-，0）、（3，0）、（0，8-）、（6，）、（0，）．
點(diǎn)評：本題綜合性考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、特殊角的銳角三角函數(shù)值、相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)和數(shù)學(xué)分類討論思想的運(yùn)用，題目具有很強(qiáng)的綜合性，難度不小．