Question

【題目】如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x= 的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線(xiàn)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x= ，

設(shè)解析式為y=a（x﹣ ）2+k．

把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得 ，

解得a= ，k=﹣ ．

故拋物線(xiàn)解析式為y= （x﹣ ）2﹣ ，頂點(diǎn)為（ ，﹣ ）

（2）

解：∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線(xiàn)上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y= （x﹣ ）2﹣ ，

∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離．

∵OA是OEAF的對(duì)角線(xiàn)，

∴S=2S△OAE=2× ×OA|y|=﹣6y=﹣4（x﹣ ）2+25．

因?yàn)閽佄锞�(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）和（6，0），

所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．

① 根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即﹣4（x﹣ ）2+25=24．

化簡(jiǎn)，得（x﹣ ）2= ．

解得x1=3，x2=4．

故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，

分別為E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），

點(diǎn)E1（3，﹣4）滿(mǎn)足OE=AE，

所以平行四邊形OEAF是菱形；

點(diǎn)E2（4，﹣4）不滿(mǎn)足OE=AE，

所以平行四邊形OEAF不是菱形；

②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，平行四邊形OEAF是正方形，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，﹣3），

而坐標(biāo)為（3，﹣3）的點(diǎn)不在拋物線(xiàn)上，

故不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形

【解析】（1）已知了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸解析式，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線(xiàn)，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用拋物線(xiàn)的解析式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為△OAE的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
①將S=24代入S，x的函數(shù)關(guān)系式中求出x的值，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)和OE，OA的長(zhǎng)；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿(mǎn)足平行四邊形相鄰兩邊的長(zhǎng)相等，據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形．
②如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應(yīng)該是等腰直角三角形，即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣3）將其代入拋物線(xiàn)的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點(diǎn)．