Question

已知點P是拋物線上的任意一點，設(shè)點P到x軸的距離為d₁，點P與點F（0，2）的距離為d₂．
（1）請寫出所給拋物線的頂點坐標(biāo)；
（2）猜想d₁、d₂的大小關(guān)系，并證明；
（3）若直線PF交此拋物線于另一點Q，如圖，試判斷以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據(jù)拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)公式即可得出拋物線的頂點坐標(biāo)．
（2）本題需先根據(jù)已知條件設(shè)出P點的坐標(biāo)，分別得出d₁和d₂的平方的值，即可得出d₁、d₂的大小關(guān)系．
（3）本題需先設(shè)出P、Q點的坐標(biāo)，再根據(jù)已知條件解出所求的值，即可得出PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系即可．
解答：解：（1）∵拋物線的解析式為：
∴拋物線的頂點坐標(biāo)是：（0，1）

（2）設(shè)P（m，+1）
則d₁²=（+1）²=++1
d₂²=m²+（=++1
∴d₁²=d₂²
∵d₁＞0，d₂＞0
∴d₁=d₂

（3）取QP中點G，作QN⊥x軸，PM⊥x軸，取MN中點R，連接GR，
同（2）可證得QF=QN，PF=PM，
由梯形中位線：2GR=QN+PM，
則2GR=QF+PF，
即2GR=QP=2r
則以PQ為直徑的圓與x軸相切．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時要結(jié)合已知條件設(shè)出所需要的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，這是一道�？碱}．