Question

20．如圖，已知拋物線y=m（x+1）（x-2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)D在第二象限．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若∠DBA=30°，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運(yùn)動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運(yùn)動到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中用時最少？

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)OA=OC，求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線y=m（x+1）（x-2）（m為常數(shù)，且m＞0），求得拋物線解析式；
（2）由題意，動點(diǎn)M運(yùn)動的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動時間：t=AF+$\frac{1}{2}$DF．如答圖3，作輔助線，將AF+$\frac{1}{2}$DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．

解答 解：
（1）拋物線y=m（x+1）（x-2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點(diǎn)，
令y=0，解得x=-1或x=2，
則A（-1，0），B（2，0），
∵OA=OC，
∴C（0，-1），
∵點(diǎn)C（0，-1）在拋物線y=m（x+1）（x-2）上，
∴m×（0+1）×（0-2）=-1，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2）；
（2）∵∠DBA=30°，
∴設(shè)直線BD的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∵B（2，0），
∴0=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2+b，解得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故直線BD的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
聯(lián)立兩解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{1}{2}（x+1）（x-2）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{3}+3}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}}\end{array}\right.$．
則D（-$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$），
如圖，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DK∥x軸，
則∠KDF=∠DBA=30°．
過點(diǎn)F作FG⊥DK于點(diǎn)G，則FG=$\frac{1}{2}$DF．

由題意，動點(diǎn)M運(yùn)動的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動時間：t=AF+$\frac{1}{2}$DF，
∴t=AF+FG，即運(yùn)動的時間值等于折線AF+FG的長度值．
由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．
過點(diǎn)A作AH⊥DK于點(diǎn)H，則t_最小=AH，AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．
∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，直線BD解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-1）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴F（-1，$\sqrt{3}$）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{3}$）時，點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中用時最少．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識．在（1）中求得C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）確定出滿足條件的F點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是第（2）問難度較大．