Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-x²+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），頂點(diǎn)為B．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），連接BC，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)D在直線AE上，且滿足DE=1時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，由此可確定拋物線的解析式；
（2）可過B作BF⊥x軸于F，根據(jù)拋物線的解析式可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出BF、CF、BC的長，即可得到∠BCF即∠ACE的正弦值，進(jìn)而可在Rt△ACE中，根據(jù)AC的長求出AE、CE的值；易證得△ADH∽△BCF，可設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出AH、DH的長，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．（需要注意的是點(diǎn)D的位置有兩種情況：①點(diǎn)D在線段AE上，②點(diǎn)D在AE的延長線上；要分類討論．）

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=-1-b+3，得b=2，（1分）
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；（2分）

（2）由（1）得這個(gè)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4）；（3分）
如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F；
在Rt△BCF中，BF=4，CF=OC-OF=3，由勾股定理，得BC=5，
∴sin∠BCF=

4

5

；
∵AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，
∴∠AEC=90°；
在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

，
又AC=5，
可得

AE

5

=

4

5

，
∴AE=4，由勾股定理得CE=3；
過點(diǎn)D作DH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H；
由題意知，點(diǎn)H在y軸的右側(cè)，易證△ADH∽△ACE；
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則AH=x+1，DH=y，（4分）
①若點(diǎn)D在AE的延長線上，則AD=5；
得

x+1

4

=

y

3

=

5

5

，
∴x=3，y=3，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，3）；（6分）
②若點(diǎn)D在線段AE上，則AD=3；
得

x+1

4

=

y

3

=

3

5

，
∴x=

7

5

，y=

9

5

，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

7

5

，

9

5

）；
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，3）或（

7

5

，

9

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．